Конвергенција на долг рок: законот на големите броеви во рулет
Како просекот се приближува кон −2,70% и зошто за тоа е потребно повеќе време отколку што сугерира интуицијата.
Просечната загуба по вртење се приближува кон −1/37 како што се натрупуваат вртењата, а распрснатоста се намалува како 1/√N. По 1.000 вртења со облог на црвено, просекот обично е во рамките на ±3% од очекуваната вредност.
Закон на големите броеви
Тековниот просек на независни облози тежнее кон очекуваната вредностматематикаОчекувана вредностПросечниот резултат по облог на долг рок. −1/37 од влогот за секој стандарден европски облог.Прочитајте целосно →. По N вртења со облози со еднаква исплата од една единицапариЕдиницаОсновниот влог во кој функционира системот или играчот. Прогресијата се опишани во единици, така што тие се применуваат на која било табела.Прочитајте целосно →, просечниот резултат по вртење има очекување −1/37 и стандардна девијацијаматематикаСтандардна девијацијаКвадратен корен на варијанса; типичното растојание на резултатот од очекуваната вредност.Прочитајте целосно → 1/√N. При N = 100 таа распрснатост е 10% од влогот, речиси четирипати поголема од сигналот од 2,7%. При N = 1.000 таа е 3,2%, приближно колку сигналот. При N = 10.000 таа е 1% и предноста јасно се гледа. Предноста е невидлива во една сесија, а непобитна во една година.
Што конвергира, а што не
Просекот по вртење конвергира. Вкупниот износ не: тој се оддалечува сè повеќе од нула како што расте N, со очекување од околу 2,7% од N и распрснатост од √N околу него. За играч што одиграл 10.000 вртења со по $10 се очекува да биде во минус $2.700, со отстапување од околу $1.000. Тековниот удел на црвенотооблогЦрвеноОбложување парни пари на црвените броеви 18. Француски: руж.Прочитајте целосно → одамна се приближил до 48,65%; тековното салдо не се приближило кон ништо.
- п10 −$440
- п25 −$280
- медијана −$140
- п75 +$0
- п90 +$140
Зошто интуицијата греши
Луѓето очекуваат предноста брзо да се појави бидејќи 2,70% звучи многу, а очекуваат долгите низи да се „израмнат“ бидејќи законот на големите броевиматематикаЗакон на големите броевиПросекот на независни резултати се приближува до очекуваната вредност како што расте бројот на испитувања.Прочитајте целосно → вели дека просеците конвергираат. Двете интуиции погрешно го проценуваат размерот: предноста е мала во однос на варијансатаматематикаВаријансаМерка за тоа колку широко се шират резултатите околу очекуваната вредност. Високо за директно нагоре, ниско за облози со парни пари.Прочитајте целосно → на едно вртење (σ = 1 единица наспроти EV = 0,027), па потребни се (1/0,027)² ≈ 1.400 вртења за да стане видлива со една стандардна девијација. А конвергенцијата на просекот не прави ништо за да го повлече вкупниот износ назад; таа само ги разредува минатите флуктуации.
Конвергенција кај други облози
Кај облозите на еден бројоблогОблог на еден бројЕден број, плаќа 35:1.Прочитајте целосно → σ = 5,84, па истата пресметка дава (5,84/0,027)² ≈ 47.000 вртења за предноста да достигне една стандардна девијација. Играч што се обложува на еден број може да игра со години без предноста да може да се разликува од среќата во сопствените записи, а притоа плаќа точно исти 2,70% како играчот на црвено што ја гледа за неколку недели.
Последица за проверување системи
Секој што тврди дека системот функционира треба да може да го покаже тоа во 10.000 или повеќе вртења со документиран позитивен просек. При 1.000 вртења позитивен просек кај облозите со еднаква исплата е настан со веројатност еден спрема пет според нултата хипотеза; при 100 вртења речиси е како фрлање паричка. Симулаторите на оваа страница извршуваат 2.000 сесии со избраната должина за една секунда, што е повеќе доказ од кое било сведоштво.
Формула
Прашања
ВеројатностаматематикаВеројатностШанса за исход, од 0 до 1 или од 0% до 100%. Еден број: 1/37 = 2,70%.Прочитајте целосно → некогаш повторно да бидете во плус се намалува кон нула додека играте. Вкупниот износ безгранично се движи надолу.
Не. Тој значи дека минатите флуктуации стануваат помал дел од поголем примерок.
Кај облози со еднаква исплата, по околу 10.000 вртења предноста јасно се гледа. Кај облози на еден број, по околу 50.000.
Забавна математика
Прво обидете се сами. Секое решение е скриено; отворете го кога сте подготвени.
Двајца пријатели играат 20 рунди праведна играматематикаФер играИгра во која ниту една страна нема предност: секој облог има очекувана вредност од нула.Прочитајте целосно →, со фрлање паричка или црвенооблогЦрвеноОбложување парни пари на црвените броеви 18. Француски: руж.Прочитајте целосно → против црнооблогЦрноОблог со еднаква исплата на 18 црни броеви. Француски: noir.Прочитајте целосно → со вратен влог при нулатркалоНулаЕдинствениот зелен поле на тркалото што не го покрива ниту еден облог со пари, десетици или колони; изворот на работ на куќата. Исто така: единечна нула, 0.Прочитајте целосно →, и водат тековен резултат. Пребројте ги рундите во кои секој е во водство (нерешениот резултат му се припишува на оној што водел непосредно претходно). Што е поверојатно: водството да биде поделено 10 рунди наспроти 10, или еден пријател да води во сите 20?
Прикажете го решението
Одговор Еден пријател да води во сите 20 рунди е многу поверојатно: 35,2%, ако се смета кој било од двајцата, наспроти 6,1% за еднакви 10 наспроти 10.
Веројатноста праведен тековен резултат да е изедначен по 2k рунди е u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 по 10 рунди и 0,176 по 20. Класичен резултат, аркуссинусниот закон, вели дека веројатноста еден одреден пријател да води точно 2k од 2n рунди е u(2k) × u(2n − 2k).
Водство во сите 20: u(20) × u(0) = 0,176 за секој пријател, 35,2% за кој било од нив. Еднаква поделба: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, најмалку веројатната поделба од сите.
Значи, во праведна игра водството ретко преминува од еден на друг. Играч што цела вечер бил во водство или заостанувал не видел ништо необично, а тоа не кажува ништо за тркалото ниту за вештината. Епштајн (2013) го дава истиот закон за подолги игри: во половина од случаите посреќната страна води повеќе од 85% од играта.
За предах
Просекот конвергира. Вкупниот износ само заминува.
Извори
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.