Проблем: Роденденското тркало
По колку вртења ќе се повтори некој број? Многу побрзо отколку што повеќето луѓе претпоставуваат.
Проблемот со родендените на тркало со 37 полиња на тркалотоопремаПоле на тркалотоЕден од 37 нумерираните прегради на роторот. Исто така: слот, чаша.Прочитајте целосно →: веќе по само 8 вртења веројатноста некој број да се појавил двапати е поголема од половина. Играчите повторувањата ги толкуваат како обрасци; тие се очекувано однесување на фер тркало.
Проблемот
Завртете фер европско тркало. По колку вртења веројатностаматематикаВеројатностШанса за исход, од 0 до 1 или од 0% до 100%. Еден број: 1/37 = 2,70%.Прочитајте целосно → барем две вртења да покажале ист број надминува една половина? Повеќето играчи претпоставуваат некаде околу 18 или 19, половина од 37. Одговорот е 8.
Решението
Пресметајте ја веројатноста да нема повторување и одземете ја од еден. По k вртења, p(сите различни) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). За k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, па p(некое повторување) ≈ 0,56. За k = 14 таа е 0,93; за k = 20 е 0,996. Интуицијата потфрла бидејќи бројот на парови вртења расте како k², а секој пар може да се совпадне.
Зошто е важно на масата
Таблата со резултатите од последните 20 броеви речиси секогаш ќе покаже барем едно повторување, често две или три. Играчите гледаат „17 излезе двапати во десет вртења“ и заклучуваат дека 17 е жежок; аритметиката на родендените вели дека повторување во десет вртења се случува 74% од времето, а повторениот број е случаен. Образецот е реален; значењето не е.
Следниот проблем
По колку вртења одреден број, да речеме 17, ќе се појави двапати? Тоа е поинакво прашање со многу поголем одговор: очекуваното чекање е 74 вртења, а веројатноста за две 17-ки во 20 вртења е околу 10%. Разликата меѓу „се повторува некој број“ (8 вртења) и „се повторува овој број“ (74 вртења) е токму разликата меѓу образец што го забележувате потоа и предвидување што го правите однапред.
Испробајте
Пуштете ја демо-играта за десет вртења и погледнете ја историјата. Обично ќе има повторување. Пуштете ја повторно. Повторениот број ќе биде друг. Направете го тоа десет пати и ќе го видите проблемот со роденденитематематикаРоденденски проблемКолку луѓе се потребни за веројатно двајца да имаат ист роденден, или колку вртења се потребни број веројатно да се повтори. На тркало со 37 полиња, 8 вртења се доволни за веројатност поголема од половина.Прочитајте целосно →; направете го илјада пати (симулаторите го можат тоа) и ќе го измерите.
Формула
Прашања
Токму така, со 37 полиња на тркалото наместо 365 денови. 23 луѓе даваат 50% за родендени; 8 вртења даваат 56% за тркалото.
50% по околу 19 вртења. И тоа е вообичаено.
Не. Илјадници вртења од едно тркало би укажале; едно повторување никогаш.
Забавна математика
Прво обидете се сами. Секое решение е скриено; отворете го кога сте подготвени.
Табла со резултати покрај американско тркало ги покажува последните 16 вртења. Колку е веројатно на неа ниеден број да не се појавува двапати?
Прикажете го решението
Одговор Околу 2,5%: приближно 39 од 40 табли покажуваат барем едно повторување.
Одете вртење по вртење. Првото може да биде што било. Второто мора да го промаши: 37 можности од 38. Третото мора да ги промаши двете: 36 од 38. Шеснаесеттото мора да промаши петнаесет броеви: 23 од 38.
Помножете: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Табла без повторување е реткост. Табла со повторување не кажува ништо за тркалото.
Во десет вртења на европско тркало, колкава е веројатноста 17 да излезе точно пет пати? Некој број, кој било, да излезе пет или повеќе пати? И некој број да излезе барем три пати во четири вртења?
Прикажете го решението
Одговор 17 точно пет пати: 1 на 315.576. Некој број пет или повеќе пати: околу 1 на 8.333. Некој број барем три пати во четири вртења: 1 на 349.
17 пет пати: изберете кои пет од десетте вртења, 252 начини, секое со веројатност (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Заедно, 1 на 315.576.
Некој број: секој од 37-те броеви има веројатност 1 на 308.325 за пет или повеќе погодувања, што дава 37 од 308.325, односно 1 на 8.333. Реткиот случај два броја да имаат по пет погодувања се брои двапати, но неговото отстранување не менува ништо со оваа прецизност.
Три пати во четири вртења: за еден број, 4 × 36 + 1 = 145 од 37⁴ можни резултати; за кој било од 37-те броеви, 145/37³ = 1 на 349.
За тркало со двојна нулатркалоНулаЕдинствениот зелен поле на тркалото што не го покрива ниту еден облог со пари, десетици или колони; изворот на работ на куќата. Исто така: единечна нула, 0.Прочитајте целосно →, соодветните бројки се 1 на 359.275, 1 на 9.243 и 1 на 368. Разликата меѓу „17“ и „некој број“ повторно е проблемот со родендениматематикаРоденденски проблемКолку луѓе се потребни за веројатно двајца да имаат ист роденден, или колку вртења се потребни број веројатно да се повтори. На тркало со 37 полиња, 8 вртења се доволни за веројатност поголема од половина.Прочитајте целосно →: постојат 37 начини да се изненадите.
За предах
Нешто се повторува рано. Тоа нешто е случајно.
Извори
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.