Задача: лимитот на масата
Мартингејл од $10 на маса со лимит $500. Колку често пропаѓа, колку губи кога ќе пропадне и дали зголемувањето на лимитот помага?
Шест порази по ред го прекинуваат: 1,8% по циклус, односно околу 60% од сесиите со 100 вртења. Прекинот чини $630. Подигањето на лимитот на $5.000 го прави прекинот поредок (0,25% по циклус) и поголем ($5.110). Очекуваната загуба по вложен долар е 2,70% при секој лимит.
Проблемот
Играч става $10 на црвенооблогЦрвеноОбложување парни пари на црвените броеви 18. Француски: руж.Прочитајте целосно → и го удвојува влогот по секоја загуба, а по добивка почнува одново. Максимумот на масата е $500. (а) Колку последователни загуби ја прекинуваат прогресијатастратегијаПрогресијаСекое правило што го менува влогот врз основа на претходните резултати. Негативните прогресии го зголемуваат по поразите, позитивните по победите.Прочитајте целосно →? (б) Која е веројатностаматематикаВеројатностШанса за исход, од 0 до 1 или од 0% до 100%. Еден број: 1/37 = 2,70%.Прочитајте целосно → по циклус? (в) Колку се губи при прекинот? (г) Како лимит од $5.000 ги менува одговорите? (д) Дали некој лимит го прави системот профитабилен?
Решенија за (а)–(в)
Влогови: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Седмиот би бил 640 > 500, па шест загуби ја прекинуваат. (б) p(загуба) = 19/37 на црвено; (19/37)⁶ = 0,0183, односно околу 1,8% по циклус. Циклусот трае во просек околу две вртења, па сесија од 100 вртења има приближно 50 циклуси и p(барем еден прекин) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (в) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, односно 63 основни единиципариЕдиницаОсновниот влог во кој функционира системот или играчот. Прогресијата се опишани во единици, така што тие се применуваат на која било табела.Прочитајте целосно →, наспроти $10 што циклусот се обидувал да ги добие.
Решение за (г)
При $5.000: дозволени се влогови до 2.560; десеттиот влог, 5.120, е одбиен. Девет загуби ја прекинуваат: (19/37)⁹ ≈ 0,25% по циклус, односно околу 11% од сесиите со 100 вртења. Загуба при прекинот: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Играчот купил поретка катастрофа по цена на поголема. Во многу сесии, очекуваниот трошок на прекините е p × загуба ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 по циклус при лимит од $500 и 0,0025 × 5.110 = $12,8 при $5.000; со заокружување, тоа е истиот број и е очекуваната загубаматематикаОчекувана загубаОчекуваната вредност помножена со вкупниот обложен износ; просечниот износ изгубен во една сесија или период.Прочитајте целосно → на циклусот минус $10 што ги носат добитните циклуси.
Решение за (д)
Не. Очекуваната загуба по циклус = (очекуваниот вкупен влог во циклусот) / 37, при секој лимит, бидејќи секој облог носи −1/37 од самиот себе. Лимитот одлучува само како загубата се распределува меѓу многу мали добивки и неколку големи загуби. Без лимит и со бесконечен буџет за играњепариБуџет за играњеВкупниот износ одвоен за играње. Управувањето со буџетот за играње одредува колку да се ризикува по облог и по сесија.Прочитајте целосно →, прогресијата би „успеала“, во смисла дека никогаш не би се прекинала, но би вложувала неограничен износ со очекувана загуба од 2,70% од тој неограничен износ. Лимитот на масатамасаЛимит на масатаМинимален и максимален дозволен облог. Максимумот е она што престанува да ги удвојува прогресиите.Прочитајте целосно → не е тоа што го спречува МартингејлстратегијаМартингејлПрогресија што го удвојува облогот по секоја загуба. Погледнете го делот Стратегија за тоа што прави и што не прави.Прочитајте целосно → да успее. Аритметиката е.
Две вистински маси
Примерот на Торп е маса од $1 со максимум $1.000, каде што играчот се надева да добие $30 за вечера, долар по долар. Влоговите 1, 2, 4 … 512 овозможуваат десет облози, па десет порази по ред ја прекинуваат прогресијата: еднаш во 785 циклуси на европско тркало (еднаш во 613 на американско), по цена од $1.023. Сите триесет циклуси успеваат 96,2% од времето. Останатите 3,8% губат околу $1.000, а просечниот резултат на вечерта е −$9,17, што е точно 1/37 од $339 што триесетте циклуси ги вложуваат во просек. Маса од $5 со максимум $2.000 не е различна: влоговите до $1.280 овозможуваат девет облози, а прекинот доаѓа еднаш во 403 циклуси на европско тркало (еднаш во 323 на американско) и чини $2.555.
Богат играч
Дајте ѝ на прогресијата длабок буџет за играње наместо низок лимит: 1.000 единици, основа од една единица и 1.000 вртења на црвено, повторно почнувајќи од една единица секогаш кога следното удвојување е повеќе од преостанатото. Симулиравме милион такви вечери. На европско тркало, 52% завршуваат во плус, 21% губат сè, а просечниот резултат е −124 единици. Дури и во игра без нулатркалоНулаЕдинствениот зелен поле на тркалото што не го покрива ниту еден облог со пари, десетици или колони; изворот на работ на куќата. Исто така: единечна нула, 0.Прочитајте целосно →, каде што секој облог е фер, само околу 60% би завршиле во плус. Вообичаената вечер носи мала добивка; просекот го плаќаат вечерите што завршуваат на нула.
Поуката
Казината поставуваат лимити за да ја ограничат сопствената варијансаматематикаВаријансаМерка за тоа колку широко се шират резултатите околу очекуваната вредност. Високо за директно нагоре, ниско за облози со парни пари.Прочитајте целосно →, а не за да ги поразат системите. Поразувањето на Мартингејл е спореден ефект што со задоволство го прифаќаат, а аритметиката би го поразила во секој случај. Играч кој мисли дека лимитот е проблемот ја пронашол бездната и ја помешал со падината.
Формула
Прашања
Ви овозможува да издржите до повисок лимит, каде што прекинот е поредок и поголем. Очекуваната загуба по долар останува непроменета.
Влогови 10, 30, 70, 150, 310: лимитот од $500 се достигнува по пет загуби, а прекинот чини $570. Истите 2,70%.
За еден играч да не може да се обложи со повеќе отколку што резервата на казиното може удобно да исплати. Управување со варијансата.
Забавна математика
Прво обидете се сами. Секое решение е скриено; отворете го кога сте подготвени.
МартингејлстратегијаМартингејлПрогресија што го удвојува облогот по секоја загуба. Погледнете го делот Стратегија за тоа што прави и што не прави.Прочитајте целосно → почнува со $100 на црвенооблогЦрвеноОбложување парни пари на црвените броеви 18. Француски: руж.Прочитајте целосно → и си дозволува најмногу n облози во циклус: по n загуби по ред се откажува и почнува одново. Запишете го просечниот исход на еден циклус како формула по n и пресметајте го за 5, 6 и 7 облози на европско тркало.
Прикажете го решението
Одговор Просекот е 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 за 5 облози, −$17,35 за 6 и −$20,52 за 7. Повеќе дозволени облози го влошуваат просечниот циклус, не го подобруваат.
Циклусот носи $100 освен ако не загубат сите n облози, што се случува со веројатност qⁿ, каде q = 19/37. Кога сите губат, влоговите 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ се собираат на 100 × (2ⁿ − 1). Значи просекот е 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Тука 2q = 38/37, малку повеќе од 1, па (2q)ⁿ расте со n и просекот паѓа: n = 5 дава 1,1426 и −$14,26; n = 6 дава 1,1735 и −$17,35; n = 7 дава 1,2052 и −$20,52. Подолгата скала губи поретко, во 3,6%, 1,8% и 0,9% од циклусите, но секоја загуба е двојно поголема, а во секој циклус преку масата минуваат повеќе пари, по 2,70% од секој облог.
На американско тркало 2q = 40/38 и вредностите се −$29,24, −$36,04 и −$43,20 (Тејлор, 2021). Во игра без нулатркалоНулаЕдинствениот зелен поле на тркалото што не го покрива ниту еден облог со пари, десетици или колони; изворот на работ на куќата. Исто така: единечна нула, 0.Прочитајте целосно → 2q = 1 и секој циклус има просек точно нула, без оглед на должината на скалата.
„Големиот мартингејл“ го удвојува влогот по загуба и додава една единицапариЕдиницаОсновниот влог во кој функционира системот или играчот. Прогресијата се опишани во единици, така што тие се применуваат на која било табела.Прочитајте целосно →, па влоговите одат 1, 3, 7, 15, 31 … Колку сте во добивка кога првата добивка доаѓа на 1., 2., 3. или k-тиот облог? Со единица од $10 и максимум од $500, колку често се прекинува циклусот и колку чини во просек?
Прикажете го решението
Одговор Добивка на k-тиот облог остава k единици во плус: +1, +2, +3 и така натаму. Со $10 и $500 циклусот се прекинува по пет загуби, во 3,57% од циклусите, со −$570. Во просек циклусот губи $2,32 од вложени $85,73: 2,70%.
k-тиот влог е 2ᵏ − 1 единици: 1, 3, 7, 15, 31. Првите k − 1 влогови се собираат на 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Добивка на k-тиот облог исплаќа 2ᵏ − 1, па циклусот завршува со (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k единици во плус: по една дополнителна единица за секоја загуба пред добивката.
Со $10 за единица, влоговите се $10, $30, $70, $150 и $310; следниот, $630, е над максимумот од $500. Пет загуби по ред, (19/37)⁵ = 3,57%, чинат 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Просек: добивките носат $10 × k со веројатност (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 за k = 1 до 5, а прекинот одзема $570 со веројатност 3,57%; заедно −$2,32. Просечно се вложуваат $85,73 по циклус, а 2,32/85,73 = 2,70%. Обичниот мартингејл на истата маса се прекинува по шест загуби, во 1,83% од циклусите, со −$630, и губи $1,74 од вложени $64,20: повторно 2,70%.
Играч планира мартингејл на црвено со прв облог од $1 на маса со лимит од $1.000, па можни се десет облози: $1, $2, $4 и така натаму до $512. Колку често еден циклус ги губи сите десет, колку долго трае тоа во просек и колку често вечер со 200 облози завршува така?
Прикажете го решението
Одговор Еден циклус ги губи сите десет приближно еднаш во 784, што чини $1.023. Тоа во просек се околу 1.600 облози, а вечер со 200 облози наидува на границата околу 11% од времето. Циклусот и понатаму во просек губи $0,31 од вложени $11,31: 2,70%.
Облог на црвено губи со веројатност 19/37, со вклучена нула. Десет по ред: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, приближно 1 во 784. Влоговите 1 + 2 + 4 + … + 512 се собираат на $1.023.
Еден циклус трае во просек 2,05 облози, па 784 циклуси траат околу 1.600 облози. Ако се бројат вртењата поединечно, низа од десет загуби некаде во 200 облози се јавува во 11,3% од случаите.
Меѓу таквите порази играчот добива $1 по циклус: околу $783 пред лошиот, потоа −$1.023, односно околу −$240 во целиот период. По циклус: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Просечно вложените пари по циклус се: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. А −0,31/11,31 = −2,70%.
Споредете со прв облог од $10 при лимит од $500, шест облози: границата доаѓа еднаш во 55 циклуси, а вечер со 200 облози наидува на неа во 84% од времето. Повисок лимит го прави падот поредок и поголем, не и поевтин.
За предах
Поретки и поголеми, при секој лимит. Производот е константен.
Извори
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.