Ризик од пропаст
Веројатноста да го изгубите целиот буџет за играње пред да стигнете до целта.
За облози со еднаква исплата, ризикот од пропаст ја следи формулата за пропаст на коцкарот. Со буџет за играње од $500, облози од $10 и цел од $600, ја достигнувате целта околу 57% од времето, а во другите случаи останувате без средства.
Прашањето
Имате a единиципариЕдиницаОсновниот влог во кој функционира системот или играчот. Прогресијата се опишани во единици, така што тие се применуваат на која било табела.Прочитајте целосно → буџет за играњепариБуџет за играњеВкупниот износ одвоен за играње. Управувањето со буџетот за играње одредува колку да се ризикува по облог и по сесија.Прочитајте целосно → и сакате да достигнете a + b единици, обложувајќи по една единица на облог со еднаква исплатаоблогОблог со еднаква исплатаЦрвено/црно, непарно/парно, високо/ниско. 18 броеви, плаќа 1:1.Прочитајте целосно → со веројатност за добивка p = 18/37математикаВеројатностШанса за исход, од 0 до 1 или од 0% до 100%. Еден број: 1/37 = 2,70%.Прочитајте целосно → и веројатност за загуба q = 19/37. Колкава е шансата да ја достигнете целта пред да стигнете до нула? Одговорот го разработиле Паскал, Ферма и Хајгенс во 1650-тите и е еден од најстарите резултати во теоријата на веројатност.
Формулата за пропаст на коцкарот
P(достигнување на целта) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Ризикот од пропастматематикаРизик од пропастВеројатност за губење на целиот субсидирам пред да се достигне целта или бројот на вртења.Прочитајте целосно → е еден минус тоа. Бидејќи q/p = 19/18 ≈ 1,0556, односот расте експоненцијално со бројот на единици, па формулата строго ги казнува малите единици: колку повеќе облози се потребни за да ја достигнете целта, толку повеќе пати ја плаќате предноста на казиното од 2,70% по патот.
Како да се чита
Помалите единици штетат. Обидот да удвоите $500 со облози од $10 успева во 6% од случаите; со еден облог од $500 успева во 48,6%. Смелото играње, со мал број големи облози, ја максимизира шансата да ја достигнете целта во игра со негативна очекувана вредност, бидејќи го минимизира бројот на пати кога се применува предноста на казиното. Тоа исто така ја максимизира варијансатаматематикаВаријансаМерка за тоа колку широко се шират резултатите околу очекуваната вредност. Високо за директно нагоре, ниско за облози со парни пари.Прочитајте целосно → на она што ви се случува и брзо ја завршува сесијата. Теоремата се нарекува „смелото играње е оптимално“ и ја докажале Дабинс и Севиџ во 1965.
Потеклото на проблемот
Прашањето е постаро од рулетот. Во 1656 Паскал му поставил на Ферма загатка: двајца играчи фрлаат три коцки и секој почнува со 12 жетони; фрлање единаесет поместува жетон во една насока, а фрлање четиринаесет во другата. И двајцата ја решиле, а Хајгенс, кој слушнал за неа преку писмо од математичарот Пјер де Каркави, ја објавил во 1657 како петта задача во првата книга за веројатност, со одговорот, но без доказ. Збир 11 може да се добие на 27 начини, а 14 на само 15, па секој жетон оди во полза на првиот играч во 9 од 14 случаи; формулата погоре, со по 12 жетони кај секој играч, покажува дека тој има околу 1.157 пати поголема веројатност да освои сè отколку да изгуби сè. Предноста од 2,70% е многу помала, но истата формула покажува што таа прави преку многу облози.
Вистински смел облог
Во април 2004, Ешли Ревел, млад Англичанец, продал речиси сè што поседувал, вклучувајќи ја и облеката, и однел $135.300 во Plaza во Лас Вегас. По неколку мали облози, целиот износ го ставил на црвенооблогЦрвеноОбложување парни пари на црвените броеви 18. Француски: руж.Прочитајте целосно →, еднаш. ТопчетоопремаТопчеМалото топче што се пушта по патеката спротивно од роторот. Современите топчиња се од иворин или тефлон, 18–21 mm.Прочитајте целосно → паднало на црвено 7 и тој излегол со $270.600. На тркало со двојна нулатркалоНулаЕдинствениот зелен поле на тркалото што не го покрива ниту еден облог со пари, десетици или колони; изворот на работ на куќата. Исто така: единечна нула, 0.Прочитајте целосно →, тоа едно вртење имало веројатност 47,37% и во просек го чинело $7.121, односно 5,26% предност на казиното на еден облог. Распределена на облози од $10, истата цел би била речиси безнадежна. Смелото играње не го прави облогот добар; само го прави што е можно пократок.
Ризик од пропаст без цел
Ако едноставно играте додека не останете без средства или застанете по N вртења, прашањето станува: „Колкава е шансата мојот буџет за играње да допре нула во N вртења?“ За општо N нема затворена формула, но симулаторите на оваа страница го пресметуваат: буџет за играње од $500, со облози од $10 на црвено, речиси никогаш не се исцрпува во 100 вртења (под 1%), се исцрпува околу 9% од времето во 500 вртења и околу 95% од времето во 5.000. Без правило за запирање, веројатноста тежнее кон 100%, што е долгорочната верзија на предноста на казинотоматематикаПредност на казинотоУделот на секој влог казиното го задржува во просек: 2,70% во европски рулет.Прочитајте целосно →.
- п10 −$500
- п25 −$500
- медијана −$500
- п75 +$0
- п90 +$350
Конвергенција на долг рок: законот на големите броеви во рулет
Колку долго и колку напред
Уште два класични резултати одговараат на прашања што играчите навистина ги поставуваат. Без цел, фиксните облози со еднаква исплата траат во просек 37 вртења за секоја единица буџет за играње на европско тркало, а 19 на американско, бидејќи секое вртење во просек зема 1/37 единица (1/19 на американско тркало): 100 единици траат во просек 3.700 вртења, иако половина од таквите сесии завршуваат во 3.134 вртења или помалку (видете „Должина и цена на сесијата“). Без оглед колку е голем буџетот за играње, шансата на европско тркало некогаш да бидете k единици во плус е (18/19)ᵏ. Таа е 95% за една единица и 58% за десет, но ниеден буџет за играње, колку и да е голем, не дава рамноправна шанса некогаш да бидете 13 единици во плус; на американско тркало шансата е (9/10)ᵏ и паѓа под една половина кај 7 единици.
Должина и цена на сесијатаАмериканско рулетско тркало и правила
Буџет за играње за рамноправна шанса
Свртете го прашањето: колку треба да донесете за да имате барем рамноправна шанса да освоите одреден износ пред да изгубите сè? За мала добивка, не многу. За поголема, потребниот буџет за играње стрмно расте, а над одредена точка ниеден буџет не е доволен, бидејќи дури и бесконечен буџет дава помалку од рамноправна шанса некогаш да стигнете толку далеку во плус. Тејлор (2021) го кажува поинаку: на американско тркало, за рамноправна шанса да достигнете 100 единици, мора да почнете со 94, ризикувајќи 94 за да освоите 6. На европско тркало ќе ви требаат 88.
Практичната лекција
Одлучете што се обидувате да направите. Ако целта е одредена добивка, обложувајте се крупно и ретко. Ако целта е долга вечер, обложувајте се со малку и прифатете дека предноста на казиното ќе земе 2,70% од големиот обрт на обложувањапариОбрт на обложувањаВкупниот износ обложен во текот на една сесија или период, сметајќи ги добивките од повторно обложување. Исто така: рачка, акција.Прочитајте целосно →. Ако сакате и едното и другото, од нешто мора да се откажете, а тоа обично е целта.
Формула
Прашања
МартингејлстратегијаМартингејлПрогресија што го удвојува облогот по секоја загуба. Погледнете го делот Стратегија за тоа што прави и што не прави.Прочитајте целосно → го намалува за кратки сесии, но драматично го зголемува за долги. Фиксно обложувањестратегијаФиксно обложувањеОбложување на истиот износ на секое вртење. Основната линија со секоја прогресија се споредува.Прочитајте целосно → со поголема единица е искрениот начин да го намалите.
Формулата погоре важи за облози со еднаква исплата. Кај облози со голема варијанса, пропаста е поверојатна при мали влогови, а целта се достигнува понерамномерно; користете го калкулаторот.
Секој чекор кон целта е малку помалку веројатен од секој чекор кон пропаста; односот се умножува со бројот на чекори.
Забавна математика
Прво обидете се сами. Секое решение е скриено; отворете го кога сте подготвени.
Имате $100 и сакате $1.000, обложувајќи се само на црвенооблогЦрвеноОбложување парни пари на црвените броеви 18. Француски: руж.Прочитајте целосно →. Прв план: по $1. Втор план: обложувајте се со сè што имате додека не поминете $500, па потоа само колку што е потребно за да стигнете до $1.000. Кој план е подобар и за колку?
Прикажете го решението
Одговор Вториот план, убедливо. До $1.000 стигнува околу 9,0% од времето, блиску до праведните 10%. Првиот план успева околу 7 пати во 10²².
Во праведна играматематикаФер играИгра во која ниту една страна нема предност: секој облог има очекувана вредност од нула.Прочитајте целосно → би стигнале до $1.000 од $100 еднаш од десет, што и да правите, бидејќи просечната вредност на вашите пари останува $100.
Предноста одзема 2,70% од секој облог, па колку помалку вкупно се обложувате, толку поблиску сте до еден од десет. Вториот план ја решава работата со неколку облози: $100 стануваат $200, $400, $800, а потоа се доволни $200. Успева околу 9,0% од времето. Првиот план бара илјадници облози пред да заврши процесот, а предноста, мала кај секој од нив, се собира до речиси сигурна пропаст.
Ова е резултатот на Дубинс–Севиџ во наједноставна форма (Епштајн, 2013): во игра што му оди во прилог на казиното, обложувајте се колку што ви е потребно, што е можно помалку пати.
Имате $500 и сакате $1.000, запирајќи штом ќе ги имате. Избирате еден вид облог и го повторувате додека не добие еднаш или додека не ви снема пари. Кој вид дава најголема шанса?
Прикажете го решението
Одговор Еден облог од $500 на црвено: 48,6%. Секој план што ги распоредува парите на помали облози е полош.
Изберете го секој влог така што една добивка е доволна: $30 на еден бројоблогОблог на еден бројЕден број, плаќа 35:1.Прочитајте целосно → добива $1.050, $60 на сплитоблогСплитДва соседни броја, плаќа 17:1.Прочитајте целосно → добива $1.020 итн. Потоа избројте ја веројатноста барем еден облог да добие пред да ви снема пари. Шеснаесет облози од $30 на еден број сите промашуваат со веројатност (36/37)¹⁶ = 64,5%, па до $1.000 стигнуваат 35,5% од времето.
Табелата го покажува секој облог. Црвеното е најдобро бидејќи стигнува таму со еден облог, па предноста се плаќа еднаш, на $500. Линијата од шестоблогЛинија од шестШест броја во два соседни редови, плаќа 5:1. француски: sixain.Прочитајте целосно → е втора бидејќи ѝ се потребни само три.
Еден облог на дузинаоблогДузина1–12, 13–24 или 25–36, исплаќа 2:1.Прочитајте целосно → е најлош, со шанса 12/37; дури и ако се игра во единиципариЕдиницаОсновниот влог во кој функционира системот или играчот. Прогресијата се опишани во единици, така што тие се применуваат на која било табела.Прочитајте целосно → од $250 додека немате $1.000 или повеќе, дузината стигнува таму само 46,4% од времето. Болман (2024) ја прави истата табела за американско тркало. Во неговиот ред за дузина има грешка: треба да стои 12/38 = 31,6%.
Облогвлог × број на облозишанса да се стигне до $1.000Облог на еден број$30 × 1635,5%Сплит$60 × 835,9%Стрит$90 × 534,5%Агол$125 × 436,7%Линија од шест$166, $166, $16841,2%Дузина$500 × 132,4%Црвено$500 × 148,6%Се обложувате со една единица на црвено, вртење по вртење, со буџет за играњепариБуџет за играњеВкупниот износ одвоен за играње. Управувањето со буџетот за играње одредува колку да се ризикува по облог и по сесија.Прочитајте целосно → што никогаш не се исцрпува. По првото вртење сте една единица во плус или една единица во минус. Колкава е веројатноста некогаш повторно да бидете точно на нула?
Прикажете го решението
Одговор 36 од 37, 97,3%. На американско тркало е 36 од 38, 94,7%.
Ако првото вртење добие (18 пати од 37), сте една единица во плус, а предноста ја влече секоја бескрајна сесија надолу, па порано или подоцна повторно поминувате низ нула: тоа е сигурно. Ако изгуби (19 пати од 37), треба да се искачите за една единица, а веројатноста некогаш да бидете една единица во плус е 18/19 (видете ја табелата погоре).
Заедно: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Општо, веројатноста е 1 минус разликата меѓу веројатностите да добиете и да изгубите едно вртење: 1 − 1/37 на европско тркало, 1 − 2/38 на американско. Во игра без нулатркалоНулаЕдинствениот зелен поле на тркалото што не го покрива ниту еден облог со пари, десетици или колони; изворот на работ на куќата. Исто така: единечна нула, 0.Прочитајте целосно → разликата е нула, а веројатноста е 1: резултатот секогаш се враќа на нула. Епштајн (2013) го дава општото правило.
Задачата на Паскал од 1656: двајца играчи фрлаат три коцки, секој почнува со 12 жетони. На секои 11 се префрла жетон на првиот играч, на секои 14 еден на вториот; другите фрлања не се бројат. Колкава е веројатноста првиот играч да ги освои сите 24? А ако наместо тоа се обложувате со 1 единица на црвено при секое вртење против пријател кој е банка, со по 12 единици, колкава е веројатноста вие да ги освоите сите 24?
Прикажете го решението
Одговор Првиот играч победува околу 1.157 пати од 1.158. Вие, на црвено, ги освојувате сите 24 единици само околу 34% од времето.
Три коцки даваат 11 на 27 начини и 14 на 15 начини, па секој жетон што се преместува оди кај првиот играч 27 пати од 42, односно 9 пати од 14. Бидејќи секоја страна почнува со 12, веројатноста да се освои сè е 1/(1 + r¹²), каде што r е односот меѓу веројатноста на другата страна и вашата.
За првиот играч r = 5/9, а (5/9)¹² ≈ 0,00086, па веројатноста е околу 0,99914: изгледи 9¹² спрема 5¹², или 282.429.536.481 спрема 244.140.625, околу 1.157 спрема 1. Хајгенс ги објавил токму тие броеви во 1657.
На црвено, r = 19/18 поради нулата, а (19/18)¹² ≈ 1,913: вашата веројатност е 1/2,913 ≈ 34,3%. Паричка би дала 50%. Предноста од 2,70% на секој облог, низ многуте потребни облози, се собира во разлика од 16 процентни поени.
За предах
Смелото играње е оптимално. Исто така, завршува брзо.
Извори
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”